bs期权定价公式如何推导？推导bs期权定价公式的依据是什么？

在金融领域，期权定价是一个核心问题，而BS期权定价公式是其中的重要成果。要理解BS期权定价公式的推导，首先需了解其推导的依据。

推导BS期权定价公式的依据主要基于以下几个重要理论和假设。其一，有效市场假说。该假说认为市场价格已经反映了所有可用的信息，资产价格遵循几何布朗运动。也就是说，资产价格的变动是随机的，且其对数收益率服从正态分布。其二，无套利原则。这是金融定价的基石，即在市场中不存在无风险的套利机会。如果存在套利机会，市场参与者会迅速进行套利操作，使得价格回归到均衡状态。其三，风险中性定价原理。在风险中性世界里，所有资产的预期收益率都等于无风险利率，这大大简化了期权定价的过程。

接下来详细阐述BS期权定价公式的推导过程。首先，根据几何布朗运动，设标的资产价格\(S\)满足如下随机微分方程：\(dS = \mu Sdt+\sigma SdW\)，其中\(\mu\)是标的资产的期望收益率，\(\sigma\)是标的资产收益率的波动率，\(dW\)是维纳过程。

然后，设期权价格\(C\)是标的资产价格\(S\)和时间\(t\)的函数，即\(C = C(S,t)\)。利用伊藤引理对\(C\)进行展开，得到\(dC=(\frac{\partial C}{\partial t}+\mu S\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial S^{2}})dt+\sigma S\frac{\partial C}{\partial S}dW\)。

为了消除风险，构建一个投资组合，该组合包含一份期权空头和\(\frac{\partial C}{\partial S}\)份标的资产多头。组合的价值\(\Pi=-C+\frac{\partial C}{\partial S}S\)，其变化量\(d\Pi=-dC+\frac{\partial C}{\partial S}dS\)。将\(dC\)和\(dS\)的表达式代入\(d\Pi\)中，并根据无套利原则，该组合的收益率应等于无风险利率\(r\)，即\(d\Pi = r\Pi dt\)。

经过一系列的化简和推导，最终可以得到BS偏微分方程：\(\frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial S^{2}}=rC\)。

对于欧式看涨期权，结合边界条件\(C(S,T)=\max(S - K,0)\)（其中\(K\)是期权的执行价格，\(T\)是期权的到期时间），求解上述偏微分方程，就可以得到BS期权定价公式：

\(C = S N(d_1)-K e^{-r(T - t)}N(d_2)\)，其中\(d_1=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\sigma^{2}}{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}\)，\(d_2=d_1-\sigma\sqrt{T - t}\)，\(N(x)\)是标准正态分布的累积分布函数。

通过上述基于有效市场假说、无套利原则和风险中性定价原理的推导过程，我们成功得到了BS期权定价公式，它为期权定价提供了重要的理论基础和实用方法。

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